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来源:中国职称论文网(yscbooks.com)2015-04-30

参考文件下载

 关于单形中一个极值问题的探讨 
(注:标题用黑体三号加粗)
 

  【摘 要】

(注:黑体四号加粗)

  设为维空间中的在单形中的个不同点,m个点中任意两点之间的距离所有和与其中两点之间距离的最小值的比值的下确界为本文运用分析学、离散与组合几何理论中的有关知识和MATLAB编程软件对单形中上述点之间距离之和与最小距离比值的最小值进行了研究,给出5个结论,证明提出2个猜想.(注:宋体小四;段前0.5行,段后0行,单倍行间距)
 

  关键词:二维空间单形;三维空间单形;最小值;构造
(注:宋体小四加粗,用分号间隔关键词;段前0.5行,段后0行,单倍行间距)
 

  Research of an Extreme Value Problem in the Simplex(注:TimeNewRoman四号加粗)

  ABSTRACT(注:TimeNewRoman小四加粗)

  Suppose that are these m different points in the simplex of n dimensional space , the infimum of distance ratio of the total distance between all m points and the minimum distance between any two points is . This paper studies the value of by applying analysis of discrete and combinatorial geometry theory and the MATLAB programming software, and gives five main research conclusions, proving

  This paper also gives two conjectures.

  KEY WORDS: Two-dimensional space simplex; Simplex in the three dimens-ional space; The minimum value; Structure(注:TimeNewRoman小四号加粗,分号间隔段前0.5行,段后0行,单倍行距)
 

  目 录
 
(注:三号黑体居中)

  (空一行)

  第一章 前言........................................................................................................ 1

  1.1 研究背景与课题意义.................................................................................. 1

  1.2 主要结果...................................................................................................... 3

  1.2.1 二维空间单形中4、5个点情形.............................................................. 3

  1.2.2 三维空间单形中5、6个点情形.............................................................. 3

  1.2.3 维空间单形中 点情形........................................................ 3

  1.2.4 两个猜想................................................................................................. 3

  第二章 预备知识.............................................................................................. 4

  2.1 若干记号.................................................................................................... 4

  2.2 引理........................................................................................................... 4

  第三章 定理的证明......................................................................................... 5

  3.1 定理1的证明............................................................................................. 5

  3.2 定理2的证明.......................................................................................... 11

  3.2.1 情形(i)的证明................................................................................... 12

  3.2.2 情形(ii)的证明................................................................................. 15

  3.2.3 情形(iii)的证明................................................................................ 17

  3.3 定理3的证明....................................................................................... 19

  3.3.1 图形构造与证明...............................................................................19

  3.3.2 建立模型和输出结果...................................................................... 24

  3.3.3 结果分析.......................................................................................... 30

  3.4 定理4的证明....................................................................................... 33

  3.5 定理5的证明........................................................................................34

  3.6 两个猜想...............................................................................................35

  第四章 结语................................................................................................ 36

  第五章 Matlab编程程序............................................................................ 37

  5.1 Matlab程序1求最高点位置的函数值................................................ 37

  5.2 Matlab程序2........................................................................................ 37

  5.2.1 求 动点在 上运动的函数最小值Matlab程序................................. 37

  5.2.2 求 动点在 点与 点位置的函数值Matlab程序............................... 38

  5.3 Matlab程序3....................................................................................... 40

  5.3.1 求 动点在 上运动的函数最小值Matlab程序............................... 40

  5.3.2 求 动点在 点与 点位置的函数值Matlab程序.............................. 40

  5.4 Matlab程序4求解驻点...................................................................... 42

  参考文献................................................................................................... 43

  致 谢...........................................................................................................45

  第一章 前言................................................................................................ 1

  1.1 研究背景与课题意义............................................................................1

  1.2 主要结果.............................................................................................. 3

  1.2.1 二维空间单形中4、5个点情形......................................................3

  1.2.2 三维空间单形中5、6个点情形..................................................... 3

  1.2.3 维空间单形中 点情形........................................................ 3

  1.2.4 两个猜想.......................................................................................... 3

  第二章 预备知识....................................................................................... 4

  2.1 若干记号..............................................................................................4

  2.2 引理..................................................................................................... 4

  第三章 定理的证明.................................................................................. 5

  3.1 定理1的证明...................................................................................... 5

  3.2 定理2的证明.....................................................................................11

  3.2.1 情形(i)的证明............................................................................... 12

  3.2.2 情形(ii)的证明............................................................................. 15

  3.2.3 情形(iii)的证明............................................................................ 17

  3.3 定理3的证明.................................................................................. 19

  3.3.1 图形构造与证明......................................................................... 19

  3.3.2 建立模型和输出结果................................................................. 24

  3.3.3 结果分析..................................................................................... 30

  3.4 定理4的证明.................................................................................. 33

  3.5 定理5的证明.................................................................................. 34

  3.6 两个猜想......................................................................................... 35

  第四章 结语........................................................................................... 36

  第五章 Matlab编程程序....................................................................... 37

  5.1 Matlab程序1求最高点位置的函数值.......................................... 37

  5.2 Matlab程序2.................................................................................. 37

  5.2.1 求 动点在 上运动的函数最小值Matlab程序........................... 37

  5.2.2 求 动点在 点与 点位置的函数值Matlab程序.......................... 38

  5.3 Matlab程序3................................................................................. 40

  5.3.1 求 动点在 上运动的函数最小值Matlab程序.......................... 40

  5.3.2 求 动点在 点与 点位置的函数值Matlab程序........................ 40

  5.4 Matlab程序4求解驻点................................................................ 42

  参考文献............................................................................................. 43

  致 谢.................................................................................................... 45
 

  注意:使用word中索引和目录功能自动生成目录:

  自动生成目录的方法为:“插入\引用\索引和目录:目录”,勾上“显示页码”和“页码右对齐”,点“修改”:选择“样式”里“目录1”再点“修改”,按要求修改字号等,同样改目录2和3。前提是标题都已经通过“格式\样式和格式”处理好了。如果出现目录中字体是黑体的话,选中自动生成的目录,改为“宋体”即可。
 

  第一章 前言
(注:章节大标题小三黑体加粗居中)
 

  1.1 研究背景与课题意义(注:二级标题。顶格宋体四号加粗。标题处段前13磅,段后13磅)

  离散与组合几何主要研究几何对象的组合设计、计数与极值问题.人们对它的研究由来已久,如等球装箱及Steiner树问题等.人们在社会生产实践中,发现许多问题实际上是某些几何对象的安排与计数问题,这就产生了离散与组合几何学.
 

  离散与组合几何学的深入研究始于20世纪。1964,H.Hadwiger,H.Ddbrunner与V.Klee合著的Combinatoril Geometry in the Plane[1]一书的出版,标志着这门学科的真正诞生.P.Brass,W.Mose,J.Pach合著的Research Problems in Di-screte Geometry 一书更体现了这门学科中丰富的内容与问题,其内容涉及计算与算法几何、初等与凸几何、微分几何、分析学、代数学、图论、数论、组合数学等.对此学科的研究,不仅需要相关的基础理论知识,而且还需要一定的几何直觉与构造能力.组合方法与技巧的运用对这门学科的研究是至关重要的.时至今日,这门学科的发展,不仅丰富了相关的数学理论知识,而且还形成了自身的特色.(注:正文部分宋体小四,首行缩进,1.5倍行距)
 

  目前,现代数学已被广泛应用于一些长期悬而未决的离散与组合几何学的问题,同时,一些新的问题又不断产生,使这门学科极具生命力,发展异常迅猛.由于人们很容易掌握这类问题的陈述,同时它的解决往往又体现出创造性的数学思想与精神,所以它深受人们喜爱.
 

  单形问题是离散与组合几何学问题研究的重要课题之一,而且其研究的邻域很广泛,比如说研究单形John的定理、 维单形上的广义余弦定理、单形多维角与内外径性质、 维单形的截面积、单形不等式等等,其中关于单形的各种各样的不等式研究,更富有趣味性和创造性,吸引着众多数学家与数学爱好者. 1994年,苏化明发表了单形内顶角的不等式 [4](注:引用参考文献标注) ;2000年,林波、郭曙光、钱林给出关于单形内任意一点及 维中面的几何不等式 ;2002年,马统一、任天胜、胡广平研究了涉及单形内一点和内外径的一类不等式 ;2006年,杨世国给出切点单形与旁切点单形体积的不等式 ;2012年,唐盛芳、张玲、孙明保研究涉及两个 维单形的四类不等式 ,当然还有很多相关的研究成果 .
 

  基于对单形问题的兴趣,本文利用分析学、离散与组合几何理论的相关知识,对2维空间中的单形内一点(或两点)与单形的顶点共4(或5)个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值,以及3维空间中的单形内一点,以及单形的顶点共5个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值进行了研究,并分别给出了证明,有的采用了多种证明方法及证明思路;对3维空间中的单形内两点与单形的顶点共6个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值,运用构造方法给出一个结果;对 )维空间中单形内一点与单形的顶点共 个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值,运用构造与递归的方法也给出一个结论,并由此得到两个猜想.
 

  1.2 主要结果

  1.2.1 二维空间单形中4、5个点情形(注:三级标题使用顶格小四宋体加粗)

  二维空间的单形内一点(或两点)与单形的顶点共4(或5)个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值研究结果:
 

  定理1.1 xxxxx (注:定理、定义、命题、推论、证明等词可以采用加粗以突出显示;首行缩进)

  定理1.2 xxxxx
 

  1.2.2 三维空间单形中5、6个点情形

  三维空间的单形内一点(或两点)与单形的顶点共5(或6)个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值研究结果:
 

  定理1.3 xxxxx.

  定理1.4 xxxxx.
 

  1.2.3 维空间单形中 点情形

  定理1.5 xxxxx.
 

  1.2.4 两个猜想

  猜想1 xxxxxx.

  猜想2 xxxxxx.
 

  (页脚)注:页脚;宋体,小五号居中
 

  第二章 预备知识 
(注:新的章节应另起一页)

  2.1 若干记号

  1)A 与B两点之间的距离记作.

  2) 设为维空间中的在单形中的个(包括单形的顶点)不同点,个点中任意两点之间的距离所有和与其中两点之间距离的最小值的比值记作 .

  3) 的最小值记作 .
 

  2.2 引理

  引理2.1 若 ,则有 ,有

  【公式】(注:公式应居中)

  等号取得当且仅当a=b=1.

  引理2.2 若为内或边上一点,且那么有,等号取得当且仅当恰在有一内角为的斜边的中点上.

  引理2.3 若在凸四边形中,则对角线和,等号取得当且仅当凸四边形是有一内角为的菱形.

  引理2.4 设 中的正则单形的四个顶点分别是,棱长为 ,那么对此单形内的任一点,有.
 

  第三章 定理的证明

  3.1 定理1.1的证明

  下面我们来证明定理1.1:

  证法1 先假设最优的情况( 取最小值的情形)是点在三角形 内产生的,那么可以先作到三角形的三个顶点的距离都为1,且 的距离也为1,下面以 点为圆心,1为半径作圆,交的反向延长线于点 ,显然 点只能在 上运动时才有可能达到最优的情况,否则 就会在单形的外部.【如图1所示:】(注:图、表的上方和下方都要空一行,图编号应在图片的正下方,表编号应在表格上方,使用五号宋体加粗)
 

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  图3.1 证法1示意图(注:图、表必须写出名称,编号应紧跟一级标题,如第1章里应标表1.1,1.2,第2章中应标表2.1,2.2等。)
 

  因为A3到A1 ,A2两点距离之和的函数是关于, 的即光滑又连续的函数,故此函数的最值只可能在, 范围上的驻点和两个端点处取得.由上述可知这是条件极值问题[24],为了求其驻点构造Lagrange函数 ,则条件极值点就在方程组
 

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  的所有解所对应的点中.用方程组中的第一式和第二式消去,与第三式组成新的只关于 , 的二元二次方程组

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  通过Matlab编程 (程序见第五章)计算得到两个解及,又由的范围,故驻点只有一个为,也就是图1中的点.下面只需计算 点在最高点 及 或 点的坐标代入函数求值比较大小即可.当 点在最高点位置时:

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  证法2 设点对三边所张的三个角分别是,如图3所示:

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  图3.3 证法2示意图

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  【公式居中】
(注:公式居中,按问题方便依次编号,编号放在最右端)

 

  3.2 定理1.2的证明

  定理1.2 .

  证明为了方便计算,不妨设平面中5个不同点 中任意两点之间的最小距离为,且设由 三点组成三角形 , 为其内部或边上的两点.下面分三种情形讨论:

  (i) 全在的边上;

  (ii) 两点一个在 的边上,另一个在 的内部;

  (iii) 全在的内部.
 

  3.2.1 情形(i)的证明

  此时又可以分如下两种情况讨论:

  1) 两点在的同一条边上,不妨设两点在的线段上(不包括两端点位置)如图4所示:

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  图3.4 四点共线示意图
 

  证 明 由图分析可知 到 四点的距离之和最小值只可能在图中四个半径为1的虚线圆互相相交的三个点位置 出现,而在点的左右两个对称点位置 分别到 四点的距离之和是一样的,故只需要考虑 分别到 四点的距离之和的大小即可,计算得到 四点的距离之和为计算得到四点的距离之和为显然,所以此时的最小值 .
 

  2) 两点分别在 的两条不同的边上,不妨设在线段上,在线段上.如图5所示:
 

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  图3.5 在不同边上示意图
 

  第四章 结语

  本文运用分析学、离散与组合几何理论中的有关知识对2维空间中的单形内一点(或两点)与单形的顶点共4(或5)个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值及3维空间中的单形内一点与单形的顶点共5个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值进行了研究,通过论证得到了5个定理和两个非常有意思且值得探索的猜想.

  但是还有不足之处: 第一,有些证明的过程繁琐,可以继续研究寻找一些相对比较简捷的方法;第二,对于两个猜想结果没有给出具体的证明.

  此外,本论文还可以进一步探讨的问题是:在2维空间中的单形内可以研究三点或四点或五点甚至推广到个点与单形的顶点共6或7或8甚至是共个点中所有点之间距离之和与最小距离比值的最小值;对于3维空间中的单形也是一样可以推广研究的;更深层次的可以推广到 维空间中 个点,不仅仅限于本文所猜想的 维空间中 个点的情形.要想得到上述各类推广结果可能非常困难.当然,本文后续研究也有很多方面,比如探索一些简便的证明方法、按照定理3的延拓思路1及延拓思路2进行具体的证明,以及推广到维空间中 个点的情况等等,其中一个重要的研究内容,就是给出猜想1,猜想2的证明.
 

  第五章 Matlab编程程序 

(注:本章也可放入附录;附录内容汉字用宋体小四, 1.5倍行距。若是程序则用Times New Roman小四)
 

  5.1 Matlab程序1求最高点位置的函数值

  fprintf('1.下面是程序1求最高点位置的函数值的编程的结果:\n');

  M=6;

  a1=[0 0 0];

  a2=[0.866 -0.5 0];

  a3=[0.866 0.5 0];

  x=0.5773502;

  y=0;

  z=sqrt(1-(x-0.5773502)^2-y^2)+0.8164965;

  d1=sqrt((x-a1(1)).^2+(y-a1(2)).^2+(z-a1(3)).^2);

  d2=sqrt((x-a2(1)).^2+(y-a2(2)).^2+(z-a2(3)).^2);

  d3=sqrt((x-a3(1)).^2+(y-a3(2)).^2+(z-a3(3)).^2);

  f=d1+d2+d3;

  if f

  M=f;

  end

  fprintf('程序1:这是最高点位置的函数值:M=%f\n',M)

  fprintf('这是最高点的坐标:\nx=%f\ny=%f\nz=%f\n',x,y,z)
 

  5.2 Matlab程序2

  5.2.1 求动点在上运动的函数最小值Matlab程序

  fprintf('2.下面是程序2求函数值的编程的结果\n');

  M=6;

  a1=[0 0 0];

  a2=[0.866 -0.5 0];

  a3=[0.866 0.5 0];

  for x=0.2440169:0.0000001:0.2886751

  y=-sqrt(1-9*(x-0.5773502)^2);

  z=sqrt(1-(x-0.5773502)^2-y^2)+0.8164965;

  d1=sqrt((x-a1(1)).^2+(y-a1(2)).^2+(z-a1(3)).^2);

  d2=sqrt((x-a2(1)).^2+(y-a2(2)).^2+(z-a2(3)).^2);

  d3=sqrt((x-a3(1)).^2+(y-a3(2)).^2+(z-a3(3)).^2);

  f=d1+d2+d3;

  if f

  M=f;

  end

  end

  fprintf('2.1程序2:这是A4动点在弧线段BA3’运动的函数最小值:M=%f\n',M)
 

  5.2.2 求动点在点与点位置的函数值Matlab程序

  M=6;

  a1=[0 0 0]

  a2=[0.866 -0.5 0];

  a3=[0.866 0.5 0];

  for x=0.2440169%:0.0000001:0.2886751

  y=-sqrt(1-9*(x-0.5773502)^2);

  z=sqrt(1-(x-0.5773502)^2-y^2)+0.8164965;

  d1=sqrt((x-a1(1)).^2+(y-a1(2)).^2+(z-a1(3)).^2);

  d2=sqrt((x-a2(1)).^2+(y-a2(2)).^2+(z-a2(3)).^2);

  d3=sqrt((x-a3(1)).^2+(y-a3(2)).^2+(z-a3(3)).^2);

  f=d1+d2+d3;

  if f

  M=f;

  end

  end

  fprintf('2.2程序2:这是A4动点在B点位置的函数值:M=%f\n',M)

  fprintf('这是B点的坐标:\nx=%f\ny=%f\nz=%f\n',x,y,z)

  M=6;

  a1=[0 0 0];

  a2=[0.866 -0.5 0];

  a3=[0.866 0.5 0];

  for x=0.2886751%0.2440169:0.0000001:0.2886751

  y=-sqrt(1-9*(x-0.5773502)^2);

  z=sqrt(1-(x-0.5773502)^2-y^2)+0.8164965;

  d1=sqrt((x-a1(1)).^2+(y-a1(2)).^2+(z-a1(3)).^2);

  d2=sqrt((x-a2(1)).^2+(y-a2(2)).^2+(z-a2(3)).^2);

  d3=sqrt((x-a3(1)).^2+(y-a3(2)).^2+(z-a3(3)).^2);

  f=d1+d2+d3;

  if f

  M=f;

  end

  end

  fprintf('2.3程序2:这是A4动点在A3’处的函数值:M=%f\n',M)

  fprintf('这是A3’点位置的坐标:\nx=%f\ny=%f\nz=%f\n',x,y,z)
 

  5.3 Matlab程序3

  5.3.1 求动点在上运动的函数最小值Matlab程序

  fprintf('3.下面是程序3求函数值的编程的结果:\n');

  M=6;

  a1=[0 0 0];

  a2=[0.8660 -0.5 0];

  a3=[0.8660 0.5 0];

  for x=0.2886751:0.0000001:1.1547005

  y=(6.9282032*(x-0.5773502)-sqrt(48*(x-0.5773502)^2-84*(x-0.5773502)^2+28))/14;

  z=sqrt(1-(x-0.5773502)^2-y^2)+0.8164965;

  d1=sqrt((x-a1(1)).^2+(y-a1(2)).^2+(z-a1(3)).^2);

  d2=sqrt((x-a2(1)).^2+(y-a2(2)).^2+(z-a2(3)).^2);

  d3=sqrt((x-a3(1)).^2+(y-a3(2)).^2+(z-a3(3)).^2);

  f=d1+d2+d3;

  if f

  M=f;

  end

  end

  fprintf('3.1程序3:这是A4动点在弧线段A3’A1’运动的函数最值:M=%f\n',M)
 

  5.3.2 求动点在 点与 点位置的函数值Matlab程序

  M=6;

  a1=[0 0 0];

  a2=[0.8660 -0.5 0];

  a3=[0.8660 0.5 0];

  for x=0.2886751%:0.0000001:1.1547005

  y=(6.9282032*(x-0.5773502)-sqrt(48*(x-0.5773502)^2-84*(x-0.5773502)^2+28))/14;

  z=sqrt(1-(x-0.5773502)^2-y^2)+0.8164965;

  d1=sqrt((x-a1(1)).^2+(y-a1(2)).^2+(z-a1(3)).^2);

  d2=sqrt((x-a2(1)).^2+(y-a2(2)).^2+(z-a2(3)).^2);

  d3=sqrt((x-a3(1)).^2+(y-a3(2)).^2+(z-a3(3)).^2);

  f=d1+d2+d3;

  if f

  M=f;

  end

  end

  fprintf('3.2程序3:这是A4动点在A3'点位置的函数值:M=%f\n',M)

  fprintf('这是A3’点位置的坐标:\nx=%f\ny=%f\nz=%f\n',x,y,z)

  M=6;

  a1=[0 0 0];

  a2=[0.8660 -0.5 0];

  a3=[0.8660 0.5 0];

  for x=1.1547005%0.2886751:0.0000001:1.1547005

  y=(6.9282032*(x-0.5773502)-sqrt(48*(x-0.5773502)^2-84*(x-0.5773502)^2+28))/14;

  z=sqrt(1-(x-0.5773502)^2-y^2)+0.8164965;

  d1=sqrt((x-a1(1)).^2+(y-a1(2)).^2+(z-a1(3)).^2);

  d2=sqrt((x-a2(1)).^2+(y-a2(2)).^2+(z-a2(3)).^2);

  d3=sqrt((x-a3(1)).^2+(y-a3(2)).^2+(z-a3(3)).^2);

  f=d1+d2+d3;

  if f

  M=f;

  end

  end

  fprintf('3.3程序3:这是A4动点在A1’点位置的函数值:M=%f\n',M)

  fprintf('这是A1’点位置的坐标:\nx=%f\ny=%f\nz=%f\n',x,y,z)
 

  5.4 Matlab程序4求解驻点

  1.求解定理1证法1中二元二次方程组的程序

  [x,y]=solve('x^2-x+y^2-3^(1/2)*y=0','(y-3^(1/2)*x)/((x^2+y^2)^(1/2))+(3^(1/2)-3^(1/2)*x-y)/(sqrt((x-1)^2+y^2))= 0').

  2.求解定理3中三元二次方程组的程序

  [x,y,z]=solve('(x-sqrt(3)/3)^2+y^2+(z-sqrt(6)/3)^2=1','(sqrt(3)/3*y)/sqrt(x^2+y^2+z^2)+((-1/2)*x-sqrt(3)/6*y+sqrt(3)/6)/sqrt((x-sqrt(3)/2)^2+(y+1/2)^2+z^2)+((1/2)*x-sqrt(3)/6*y-sqrt(3)/6)/sqrt((x-sqrt(3)/2)^2+(y-1/2)^2+z^2)=0','(-sqrt(6)/3*y)/sqrt(x^2+y^2+z^2)+(-sqrt(6)/3*y+1/2*z-sqrt(6)/6)/sqrt((x-sqrt(3)/2)^2+(y+1/2)^2+z^2)+(-sqrt(6)/3*y-1/2*z+sqrt(6)/6)/sqrt((x-sqrt(3)/2)^2+(y-1/2)^2+z^2)=0').
 

  参考文献 (注:宋体小三加粗居中)

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  致 谢 (注:宋体小三加粗居中)

  本论文是在导师xx教授和xx研究员的悉心指导下完成的。导师渊博的专业知识,严谨的治学态度,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严以律己、宽以待人的崇高风范,朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法,还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成,每一步都是在导师的指导下完成的,倾注了导师大量的心血。在此,谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢!

  xxx

  x年x月x日于xx学院

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